10月 062011
 

担当している大学院講義「プロセスデータ解析学」で,頭の体操にと出題した確率のクイズを紹介しよう.数値は好きに設定すればよいが,人間の直感がどれほどあてにならないかを示す好例として有名な問題だ.

では,問題.

感染するとほぼ確実に死ぬ,世にも恐ろしい病気が急速に広まりつつある.

現時点で,10,000人に1人の割合でその病気に感染していることが判明している.

この危機的状況に対処するため,精鋭チームによって,その病気に感染しているかどうかを判定できる検査システムが開発された.そのシステムを使うと,感染している場合には99%陽性反応が,感染していない場合には99%陰性反応が出る.

感染が不安になったあなたは,検査を受けることにした.

その結果は,なんと,陽性!!

結果に衝撃を受けるあなただが,この検査システムで陽性反応となった場合,本当に感染している確率はいくらだろうか?

ヒントを与えておこう.解き方としてわかりやすいのは,「もし世界が100万人の都市だったら」と考えることだ.順を追って計算すれば,簡単に答えが出てくる.あるいは,ベイズの定理を用いても良い.

  11 Responses to “確率クイズ: あなたはもう感染している!?”

  1. ちなみに,陽性反応となった場合に本当に感染している確率は,1%以下.

  2. 答えは0.99%?

    ○ベイズの理論で計算する場合

    P(B|A)=P(A|B)×P(B)/P(A)

    A:陽性である  0.01 (1.00%)
    B:感染している 0.0001(0.01%)

    P(A|B)・・・感染している人が陽性である確率(0.99=99%)

    よって

    P(B|A)・・・陽性である人が感染している確率
       =0.99×0.0001/0.01=0.0099(0.99%)

    ○100万人が検査を受ける場合で考察

    ヒントで100万人としていただいているのは、観念的に
    わかりやすくするためで、100万人いれば100人感染者が
    いる。

    その100人が検査を受けて、陽性と判定されるのは99%なので
    99人。残り1人は陰性と判定される。

    100万人が全員検査を受けるとすれば、10000人が陽性と判定
    されるので、陽性判定の10000人中に99人の感染者がいること
    から、陽性判定で感染している確率は99/10000=0.99%。

    ただし、「感染するとほぼ確実に死ぬ」ということですが
    『感染した人が検査を受けるまでに死ぬ確率』が0%であるのが
    上記0.99%の確率計算上の前提。

    ちなみに、人間は100%死にますので感染してなくても
    (いつか)確実に死にます。

    時間の観念をどこになるかも重要な因子です。

    といいながら、最初モンティホール問題を聞いた時、確率は
    同じだろう(1/2vs1/2)と見事にだまされました。もちろん
    司会者が答えをしっているという前提です。100枚ドアのたとえ
    よりも、選んでいないドアすべてを1枚に集約するという
    たとえでやっと納得しました。
    (確率として数学的に計算するのがいいのでしょうが)

    • P(B|A)=P(A|B)×P(B)/P(A)
          =0.99×0.0001/0.01
          =0.0099(0.99%)
      という計算ですが,陽性である確率P(A)は,感染している人もしてない人も含めての確率ですから,問題より直ちに1%とは判明しません.

      モンティホールジレンマも面白い問題ですよね.最初,私は訳が分からなくなりました.

  3. 100万人のうち確率的に感染者は100人
    しかし仮に感染者全員が検査を受けると
    99人は陽性になっても1人は陰性になってしまう。
    一方確率的に非感染者は999900人
    しかし仮にその全員が検査を受けると
    989901人は陰性だが9999人は陽性になってしまう。
    つまり100万人全員が検査を受けると
    10098人は陽性、989902人は陰性となる。
    そしてこの人の場合は陽性なので前者。
    また陽性反応者の内本当に感染しているのは99人
    なので99/10098*100=0.9803……
    より
    本当に感染している確率は約0.98%

    でしょうか?わかりません^^;

  4. あっ、正解でしたか。有難うございました。

    ……まあ確率の問題については時間が許すなら「具体的に」「書きだすor想像する」が一番ですよね。
    例えば有名どころでは「ある夫婦に二人の子供がいる。そして片方が女の子と言う事だけは判明している。ではもう片方の子供が男の子である確率は?」
    という問題で答えは50%ではないよ、とか。

  5. エイズ検査で陽性が出ても、絶望する必要がないということですか??

    • 絶望すべきかどうかは,検査の精度によるということになります.
      特に,陰性なのに感染しているという確率を徹底的に減らすことができれば,
      陽性の時には自信を持って絶望すべきということになりますね.

      # スパム判定されていたため,返信が遅れました.

  6. このケースでは99%感染しているのでは? 感染してたらそれは統計的に見て0.98%という希なケースですよご愁傷様、ということなのではないでしょうか。

 Leave a Reply

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>